Suatu persamaan diferensial variabel terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing dideferensiannya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memungkinkan kita menuliskan persamaan diferensial terpisah dalam bentuk implisit:
y’ = P(x)/Q(x), atau dalam bentuk eksplisit: dy/dx = P(x)/Q(x) Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas. awal → Q(y) dy = P(x) dx integral → ∫ P(x) dx = ∫ Q(y) dy + C, dimana C adalah konstanta sembarang Note: Bisa dilakukan hanya pada variabel yang sama, Contoh: Hanya mengandung variabel y ← (y + 1 / y2 + 4) dy = -x dx → Hanya mengandung variabel x Contoh soal dan Pembahasan Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini: 1. y2 dy = (x + 3x2) dx, bila mana x = 0 dan y = 6 → bentuk Implisit 2. xyy’ + x2 + 1 = 0 → bentuk Eksplisit Pembahasan: 1. y2 dy = (x + 3x2) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas. Integralkan kedua ruas ∫ y2 dy = ∫ (x + 3x2) dx y3/3 + C1 = (x2/2 + x3 + C2) y3 = (3x2/2 + 3x3 + 3C2 – 3C1) y3 = 3x2/2 + 3x3 + C ; C = 3C2 – 3C1 Maka solusi umumnya adalah : y3 = 3x2/2 + 3x3 + C Menghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan y = 6, maka akan menghasilkan: C = 216 Solusi khususnya adalah : y3 = 3x2/2 + 3x3 + 216 2. xyy’ + x2 + 1 = 0 Ubah ke dalam eksplisit xy (dy/dx) + x2 + 1 = 0 Bagi tiap-tiap ruas y dy = -(x2 + 1/x) dx Integralkan kedua ruas ∫ y dy = – ∫((x2 + 1)/x) dx ∫ y dy = – ∫( X + 1/x) dx y2/2 = – (x2/2 + ln|x|) + C y2 = -x2/2 – ln|x + c ; c = -C Maka, solusi umumnya adalah y2 = -x2/2 – ln|x + c
0 Comments
Leave a Reply. |
Categories
All
Archives
December 2017
|