Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya di sebut “Persamaan Turunan”, namun istilah “Persamaan Diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan Leibniz dalam tahun 1676 sudah umum digunakan.
Contoh: y’ + xy = 3 . . . . . . . . . . (1) y” – 5y’ + 6y = cos x . . . . . . . . . . (2) y” = (1 + y’) (x2 + y2) . . . . . . . . . . (3) Pada persamaan di atas menyatakan turunan pertama dan kedua dari fungsi y(x) terhadap x yang disebut persamaan diferensial biasa. B. Bentuk Umum Persamaan Diferensial Adapun bentuk umum persamaan diferensial yaitu: f(x) dx + g(y) dy = 0 C. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat) Orde (tingkat) adalah turunan tertinggi dalam persamaan diferensial. Degree (derajat) adalah derajat dari orde tertinggi. Contoh (d3 y /dx3 )2 – (d2 y + dx2 )3 + 2xy = 6 pada persamaan di atas memiliki orde 3 dan derajat 2. D. Mencari Solusi Persamaan Diferensial Langkah-langkah:
Carilah persamaan diferensial dari hi,mpunan garis lengkung: a. y = A sin 2x + B cos 2x; A dan B adalah konstanta sembarang b. y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang Penyelesaian a. Karena ada (dua) kosntanta sembarang, maka dibutuhkan 3 persamaan untuk mengeliminasi dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 2. Persamaan 1 : y = A sin 2x + B cos 2x, turunan terhadap x Persamaan 2 : dy/dx = 2a cos 2x – 2B sin 2x, turunan terhadap x Persamaan 3 : d2y/dx2 = – 4A sin 2x – 4B cos 2x Substitusi persamaan (1) ke persamaan (3) diperoleh: d2y/dx2 = -4A sin 2x – 4B cos 2x d2y/dx2 = -4(A sin 2x + B cos 2x) → y = A sin 2x + B cos 2x d2y/dx2 = – 4y Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah d2y/dx2 + 4y = 0 b. Karena ada (tiga) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 4 persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 3. Persamaan 1 : y = x3 + A x2 + Bx + C, turunan terhadap x Persamaan 2 : dy/dx = 3 x2 + 2Ax + B, turunan terhadap x Persamaan 3 : d2y/dx2 = 6x + 2A, turunan terhadap x Persamaan 4 : d3y/dx3 = 6 Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah d3y/dx3 – 6 = 0
0 Comments
Leave a Reply. |
Categories
All
Archives
December 2017
|