Suatu persamaan diferensial variabel terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari persamaan itu bersama-sama masing-masing dideferensiannya, dapat ditempatkan di ruas yang berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memungkinkan kita menuliskan persamaan diferensial terpisah dalam bentuk implisit:
y’ = P(x)/Q(x), atau dalam bentuk eksplisit: dy/dx = P(x)/Q(x) Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-tama kita pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas. awal → Q(y) dy = P(x) dx integral → ∫ P(x) dx = ∫ Q(y) dy + C, dimana C adalah konstanta sembarang Note: Bisa dilakukan hanya pada variabel yang sama, Contoh: Hanya mengandung variabel y ← (y + 1 / y2 + 4) dy = -x dx → Hanya mengandung variabel x Contoh soal dan Pembahasan Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini: 1. y2 dy = (x + 3x2) dx, bila mana x = 0 dan y = 6 → bentuk Implisit 2. xyy’ + x2 + 1 = 0 → bentuk Eksplisit Pembahasan: 1. y2 dy = (x + 3x2) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas. Integralkan kedua ruas ∫ y2 dy = ∫ (x + 3x2) dx y3/3 + C1 = (x2/2 + x3 + C2) y3 = (3x2/2 + 3x3 + 3C2 – 3C1) y3 = 3x2/2 + 3x3 + C ; C = 3C2 – 3C1 Maka solusi umumnya adalah : y3 = 3x2/2 + 3x3 + C Menghitung konstanta C, kita menggunakan persyaratannya bilamana x = 0 dan y = 6, maka akan menghasilkan: C = 216 Solusi khususnya adalah : y3 = 3x2/2 + 3x3 + 216 2. xyy’ + x2 + 1 = 0 Ubah ke dalam eksplisit xy (dy/dx) + x2 + 1 = 0 Bagi tiap-tiap ruas y dy = -(x2 + 1/x) dx Integralkan kedua ruas ∫ y dy = – ∫((x2 + 1)/x) dx ∫ y dy = – ∫( X + 1/x) dx y2/2 = – (x2/2 + ln|x|) + C y2 = -x2/2 – ln|x + c ; c = -C Maka, solusi umumnya adalah y2 = -x2/2 – ln|x + c
0 Comments
Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif dari satu atau lebih peubah (variable) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas disebut.
Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi) menjadi 2, yaitu
Contoh : Persamaan + xy = 0 dan + – xy = 0 adalah persamaan diferensial biasa karena variable tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x.
Contoh:
an(x) + an-1(x) + … + a1(x) + a0(x)y = g(y) Selain PD bentuk tersebut adalah PD nonlinier NOTE : notasi y’, y”, y”’, y(4) …,y(n-1), y(n) menyatakan berturut-turut adalah derivative pertama, kedua, ketiga, keempat, …, derivative ke-n dari variable tak bebas y terhadap suatu variable bebas.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:
atau . Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabilay = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan denganfisika.
Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
|
Categories
All
Archives
December 2017
|